Zenone di Elea è il filosofo che ha messo in difficoltà matematici e logici per più di duemila anni con quattro argomenti brevissimi sul movimento. Achille che non raggiunge la tartaruga è diventato quasi una barzelletta da manuale, ma chi prova a spiegare dove stia l’errore si accorge presto che la cosa non è banale. La pagina sui paradossi di Zenone li analizza uno per uno; qui ci interessa l’uomo e il progetto filosofico che c’era dietro.
Il discepolo di Parmenide
Zenone nasce a Elea intorno al 490 a.C. ed è allievo di Parmenide. Le notizie sulla sua vita sono poche. Nel Parmenide di Platone lo troviamo ad Atene, quarantenne, alto e di bell’aspetto, accanto al maestro. È lui a spiegare a Socrate lo scopo del suo libro: non dire qualcosa di nuovo, ma difendere la tesi di Parmenide da chi la metteva in ridicolo. Chi sostiene che le cose sono molte, dice Zenone, va incontro a conseguenze ancora più ridicole di chi sostiene che l’essere è uno.
La tradizione antica gli attribuisce anche un episodio di coraggio politico: avrebbe partecipato a una congiura contro un tiranno e, catturato, si sarebbe tagliato la lingua con i denti per non denunciare i complici. Le versioni sono diverse e il racconto ha il sapore della leggenda edificante.
Un metodo: prendere sul serio l’avversario
Aristotele, secondo Diogene Laerzio, considerava Zenone l’inventore della dialettica. Il motivo si capisce guardando la struttura dei suoi argomenti. Zenone non dimostra direttamente che l’essere è uno e immobile. Assume invece l’ipotesi avversaria, che le cose siano molte o che il movimento esista, e ne ricava contraddizioni. È la riduzione all’assurdo, uno strumento che la matematica greca userà sistematicamente.
Contro la molteplicità
Gli argomenti sulla pluralità sono meno famosi ma altrettanto ingegnosi. Se le cose sono molte, devono essere tante quante sono, né più né meno, e quindi in numero finito. Ma tra due cose ce n’è sempre un’altra che le separa, e tra queste altre ancora: dunque sono infinite. Un altro argomento riguarda la grandezza: se le parti non hanno grandezza, sommate non danno nulla; se ce l’hanno, per quanto piccole, infinite parti daranno una grandezza infinita.
Gli argomenti contro il movimento
Aristotele li riporta nel sesto libro della Fisica, ed è da lì che li conosciamo.
Il primo, la dicotomia: per percorrere uno stadio bisogna prima arrivare a metà, e prima ancora a metà della metà, e così via all’infinito. Come si può compiere un numero infinito di passi in un tempo finito?
Il secondo è Achille. Il più veloce non raggiungerà mai il più lento, perché quando arriva dove era la tartaruga, questa si è già spostata un po’ più avanti. La tartaruga è un’aggiunta tradizionale: Aristotele parla solo del “più lento”.
Il terzo è la freccia. In ogni istante la freccia occupa uno spazio uguale a sé stessa, e quindi in quell’istante è ferma. Se il tempo è fatto di istanti, la freccia è sempre ferma.
Il quarto, lo stadio, con file di corpi che si muovono in direzioni opposte, è il più oscuro e quello su cui gli interpreti sono meno d’accordo.
Le risposte
Aristotele risponde distinguendo infinito in atto e infinito in potenza: lo spazio è divisibile all’infinito, ma non è composto di infinite parti già date. Molti manuali moderni dicono che la soluzione è arrivata con il calcolo infinitesimale e la nozione di serie convergente: la somma 1/2 + 1/4 + 1/8 + … vale 1. Per Achille il conto torna. Ma resta il dubbio se la matematica risponda davvero alla domanda di Zenone, che era: come si può completare un processo che non ha un ultimo passo? I filosofi ne discutono ancora, e il problema si apparenta a quelli trattati nella pagina sul paradosso del mucchio, dove una serie di piccoli passi produce un esito che non si sa dove collocare.
Perché leggerlo oggi
Zenone mostra una cosa che ogni studente di filosofia dovrebbe imparare presto: un argomento può essere difficile da confutare anche quando la sua conclusione sembra assurda. Il fatto che vediamo Achille superare la tartaruga non ci dice dove sia l’errore nel ragionamento. Per scoprirlo bisogna lavorare sui concetti di spazio, tempo, continuo e infinito. Fu esattamente quello che fecero, dopo di lui, gli atomisti, Aristotele e, molto più tardi, i matematici dell’Ottocento.