Di quali sistemi parla
I teoremi di incompletezza, pubblicati da Kurt Gödel nel 1931, non parlano della matematica in generale ma di teorie formali: sistemi con un linguaggio preciso, assiomi e regole di dimostrazione esplicite. Nella formulazione moderna il primo teorema vale per una teoria che sia coerente, effettivamente assiomatizzabile (le sue dimostrazioni si possono enumerare con una procedura meccanica) e abbastanza potente da rappresentare una parte essenziale dell’aritmetica dei numeri naturali. Per il primo teorema bastano condizioni aritmetiche piuttosto deboli; per il secondo servono anche condizioni tecniche su come si formalizza la dimostrabilità (si veda la Stanford Encyclopedia of Philosophy).
Due parole vanno chiarite subito. Un sistema è coerente se non dimostra una contraddizione, per esempio un enunciato e la sua negazione. È completo, nel senso che qui interessa, se per ogni enunciato del suo linguaggio dimostra l’enunciato o la sua negazione. Sono due proprietà diverse, e avere la prima non garantisce la seconda. Nessuno dei due teoremi dice che ogni sistema formale è incompleto: i sistemi troppo deboli per esprimere abbastanza aritmetica, o incoerenti, restano fuori.
Una frase che parla della propria dimostrabilità
L’idea di partenza è assegnare un numero a ogni simbolo, a ogni formula e a ogni dimostrazione. In questo modo proprietà sintattiche come “essere una dimostrazione di questo enunciato” diventano proprietà di numeri, e l’aritmetica le può rappresentare. Con una costruzione diagonale Gödel ottiene poi un enunciato che, semplificando molto, dice: «Non esiste una dimostrazione di me in questo sistema».
Somiglia al mentitore, ma non lo è. Non dichiara di essere falso; parla di dimostrabilità secondo regole ben definite. Se la teoria, supposta coerente, dimostrasse quell’enunciato, dimostrerebbe una frase che afferma di non essere dimostrabile, e la codifica permette di ricavarne una contraddizione. La forma moderna più generale incorpora il miglioramento di Rosser, che con la sola ipotesi di coerenza costruisce un enunciato che il sistema non dimostra né confuta. Il sistema è incompleto. L’articolo originale si legge in traduzione inglese.
Questo non significa che l’enunciato non si possa dimostrare in nessun modo. Una teoria più forte può dimostrarlo, se se ne accettano i nuovi assiomi.
Vero ma non dimostrabile in T
La dimostrabilità è sempre relativa: “dimostrabile in T” vuol dire derivabile dagli assiomi e dalle regole di T. La verità dipende invece dall’interpretazione; per l’aritmetica si parla di verità nel modello standard dei numeri naturali. Con le ipotesi giuste, l’enunciato di Gödel è vero in quel modello: si può controllare ogni numero che potrebbe codificarne una dimostrazione, e nessuno lo fa. “Vero e non dimostrabile in T”, però, non vuol dire “indimostrabile con qualunque metodo”, né che le verità matematiche siano inaccessibili. Come avverte la SEP, i teoremi riguardano la derivabilità in sistemi specifici, non una nozione assoluta di prova.
Il secondo teorema: nessun certificato interno
Il secondo teorema, detto in breve, afferma che una teoria coerente e abbastanza forte non può dimostrare la propria coerenza, se questa è espressa nel modo standard. Dentro la teoria si scrive la frase «non esiste una dimostrazione di una contraddizione in T». Se T potesse dimostrarla, potrebbe dimostrare anche il proprio enunciato di Gödel, contro il primo teorema. Perché l’argomento funzioni il predicato di dimostrabilità deve soddisfare certe condizioni tecniche: non basta decidere che una formula qualsiasi “significhi” dimostrabilità.
Il risultato colpiva il programma di Hilbert, che voleva fondare la matematica con garanzie formali di coerenza e completezza (si veda la voce SEP su Gödel). Non dice però che la coerenza di T sia indimostrabile in assoluto: si può dimostrare in una teoria più forte o con metodi metamatematici, e a quel punto ci si chiede quanto sia affidabile quel nuovo quadro. Né confuta la matematica. Segna un limite preciso a ciò che un singolo sistema assiomatico coerente può decidere e garantire dall’interno.