L’insieme che non sa dove stare
Alcuni insiemi non sono elementi di sé stessi. L’insieme dei numeri pari non è un numero pari, quindi non contiene sé stesso. Chiamiamo R l’insieme di tutti e soli gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Ora chiediamoci: R appartiene a R?
Se R appartiene a sé stesso, non soddisfa la condizione che definisce R, e quindi non dovrebbe appartenervi. Se non appartiene a sé stesso, soddisfa la condizione, e quindi dovrebbe appartenervi. In simboli: R ∈ R se e solo se R ∉ R. È il ragionamento che Russell comunicò a Frege nel 1902 (le lettere sono riprodotte in una raccolta accademica; si veda anche la Stanford Encyclopedia of Philosophy).
A differenza di «questa frase è falsa», qui non c’è nessuna ambiguità di linguaggio. Ci sono una definizione precisa, la relazione di appartenenza e una semplice alternativa: un insieme o appartiene a sé stesso o no. La contraddizione nasce dall’ammettere che ogni condizione che sappiamo descrivere determini un insieme. Il problema è allora quali oggetti si possano introdurre in una teoria.
Il colpo al sistema di Frege
Frege voleva mostrare che l’aritmetica deriva dalla logica. Nei Grundgesetze der Arithmetik (1893–1903) gli insiemi compaiono come estensioni (o decorsi di valori) di concetti: l’estensione di un concetto raccoglie gli oggetti che ricadono sotto di esso. La legge fondamentale V diceva, in sostanza, che due concetti hanno la stessa estensione se e solo se valgono degli stessi oggetti. Insieme al resto del sistema, questa legge permetteva di formare estensioni con grande libertà, anche quella del concetto «non appartenere alla propria estensione». Il principio generale di comprensione, precisa la SEP, non era un assioma a parte: discendeva dalla legge V (SEP, “Russell’s paradox”).
La lettera di Russell è del 16 giugno 1902. Il secondo volume dei Grundgesetze era già in stampa. Frege capì subito che non si trattava di un errore di calcolo da correggere a margine: un sistema da cui si deriva una contraddizione non può garantire la fondazione logica dell’aritmetica che prometteva (si veda la voce “Frege” della SEP).
Una toppa che non tenne
La risposta di Frege fu di un’onestà rara. Nella postfazione al secondo volume ammise che la comunicazione di Russell aveva scosso le fondamenta del suo edificio e si chiese se fosse sempre lecito parlare dell’estensione di un concetto. Poi provò a riparare. Riformulò il paradosso nel proprio linguaggio e restrinse la legge V: per identificare le estensioni di due concetti si confrontano i concetti su tutti gli oggetti tranne l’estensione stessa in questione. Così il caso che generava il circolo restava fuori.
Non bastò. La restrizione non metteva il sistema al riparo da altre contraddizioni, e Frege non arrivò mai a una fondazione coerente dell’aritmetica basata sulle estensioni. Bisogna quindi distinguere la sua replica immediata, un tentativo tecnico circoscritto, da una soluzione vera e propria, che non trovò. L’appendice e i suoi limiti sono discussi sia nella SEP sia nell’Internet Encyclopedia of Philosophy.
Dopo Russell
Da allora non si può più dare per scontato che a ogni proprietà corrisponda un insieme di tutti e soli gli oggetti che la possiedono. Le teorie assiomatiche degli insiemi venute dopo hanno limitato i modi di formare insiemi. Russell stesso propose la teoria dei tipi, che distingue livelli logici e così vieta certe forme di autoriferimento. Sono modi di stabilire con rigore quali totalità la matematica possa ammettere senza contraddirsi. Resta impressionante che un argomento di poche righe abbia messo in crisi l’opera di una vita.