Nel 1900, al Congresso internazionale di filosofia di Parigi, un giovane Bertrand Russell ascolta gli interventi di un matematico italiano, Giuseppe Peano, e dei suoi allievi. Nota che, in ogni discussione, Peano è più preciso di chiunque altro e vince sempre la partita. Si fa dare le sue opere, le studia per settimane, e anni dopo definirà quel congresso una svolta nella sua vita intellettuale. Il linguaggio simbolico di Peano diventerà la base della logica dei Principia Mathematica.
Un matematico di campagna
Peano nasce nel 1858 a Spinetta, una frazione di Cuneo, in una famiglia di contadini. Uno zio sacerdote lo porta a Torino a studiare. All’università si laurea in matematica e diventa assistente di Angelo Genocchi, uno dei maggiori analisti italiani. Nel 1884 pubblica un trattato di calcolo differenziale basato sulle lezioni di Genocchi, ma pieno di osservazioni critiche e di controesempi aggiunti da lui. Genocchi, irritato, prende pubblicamente le distanze.
Il gusto per il controesempio è uno dei tratti più caratteristici di Peano. Nel 1890 costruisce una curva che riempie interamente un quadrato: una linea continua che passa per tutti i punti di una superficie. Era una sfida al senso comune su che cosa siano linee e superfici, e contribuì a spingere i matematici a definire con più rigore le nozioni di dimensione e di continuità.
Insegna all’università di Torino per tutta la vita, e per alcuni anni anche all’Accademia militare. Muore a Torino nel 1932.
Gli assiomi dell’aritmetica
Nel 1889 pubblica un opuscolo in latino, Arithmetices principia nova methodo exposita, “i principi dell’aritmetica esposti con un nuovo metodo”. Il suo obiettivo è mostrare che tutta l’aritmetica dei numeri naturali si può ricavare da pochi concetti primitivi e pochi assiomi.
I concetti primitivi sono tre: numero, zero (nelle prime versioni partiva da uno) e “successore”. Gli assiomi dicono, in sostanza, che zero è un numero; che ogni numero ha un successore, che è anch’esso un numero; che zero non è il successore di nessun numero; che due numeri diversi hanno successori diversi; e infine il principio di induzione: se una proprietà vale per zero e, ogni volta che vale per un numero, vale anche per il suo successore, allora vale per tutti i numeri.
L’induzione è il cuore del sistema. Lo si può spiegare con l’immagine delle tessere del domino in fila: se cade la prima, e ogni tessera che cade fa cadere la successiva, cadranno tutte. Peano non fu il primo a formulare idee simili. Richard Dedekind aveva pubblicato un’analisi analoga l’anno prima. Ma la presentazione di Peano, compatta e simbolica, si impose, e ancora oggi si parla di “aritmetica di Peano”.
Un linguaggio per la matematica
Peano era convinto che il linguaggio comune fosse troppo ambiguo per la matematica. Serviva una notazione in cui ogni simbolo avesse un significato preciso e ogni passaggio di una dimostrazione fosse controllabile. Dal 1895 al 1908 lui e i suoi collaboratori pubblicano il Formulario mathematico, un’impresa collettiva che voleva raccogliere tutti i teoremi noti della matematica scritti in simboli logici.
Molti simboli che gli studenti usano oggi vengono da lì. Il segno di appartenenza a un insieme, ∈, è una epsilon stilizzata, iniziale della parola greca estì, “è”. Peano introdusse anche simboli per l’unione e l’intersezione di classi, e per il quantificatore esistenziale, poi rielaborati da Russell e Whitehead.
Logica e fondamenti
Il lavoro di Peano si colloca nel grande progetto, tra Ottocento e Novecento, di dare fondamenta rigorose alla matematica. Frege, Russell, Hilbert lo condividevano, con prospettive diverse. Le difficoltà emerse lungo il cammino sono discusse nelle pagine sul paradosso di Russell e la logica di Frege e sul teorema di Gödel. Proprio l’aritmetica di Peano è uno dei sistemi a cui si applicano i teoremi di incompletezza: nessun sistema assiomatico coerente di quel tipo può dimostrare tutte le verità aritmetiche.
Il latino senza flessioni
Negli ultimi decenni Peano si dedica con passione a un progetto diverso: una lingua internazionale per la scienza. Nel 1903 propone il “latino sine flexione”, un latino semplificato, senza declinazioni né coniugazioni, che chiunque conosca una lingua europea possa capire quasi subito. Ci scrive anche articoli scientifici. Fonda un’accademia per promuoverlo. Il progetto non ebbe successo, ma rivela la stessa idea che guidava il suo lavoro logico: rendere la comunicazione chiara, universale, priva di ambiguità.
Il rapporto con Bertrand Russell resta il segno più duraturo della sua influenza sulla filosofia.